学周易：赵向阳说周易数学VS现代数学

    清末学者杭辛斋说：“相传邵雍从李挺之学易三年，未能窥其奥妙。邵问其师易数要旨，李挺之授以‘一二三四五六七八’八个字。邵雍顿悟乾兑离震巽坎艮坤的天然位次，与一到八的数相合，即与乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八先天八卦数相合。而阴阳交错，顺逆往来，无不妙合”。
    后天八卦数则是，坎一(正北)，坤二(西南)、震三(正东)、巽四(东南)、乾六(西北)、兑七(正西)艮八(东北)、离九(正南)。先天八卦以河图为体，以洛书为用。其阴阳正配之数，恰好是洛书之九数：
    乾1配坤8＝9
    震4配巽5＝9
    坎6配离3＝9
    艮7配兑2＝9
    易数不是现代数理之数，而是一种兼含类与序的位数(Positional)，大体可理解为象的关系与变化，而象则包含了时空的相对性，故数象一体，难解难分。   南宋学者蔡沈（1167—1230年）说“顺数则知物之始，逆数则知物之终。数与物非二体也，始与终非二致也。大而天地，小而毫米，明而礼乎，幽而鬼神，知数即知物也，知始即知终也。”
数作为解易的重要手段，自汉便已通行，虽然王弼一扫象数，但仍未灭绝。就连大谈义理的程颐，其《易传》中，仍随处可见数对易的解释。汉易中的九宫、飞伏、半象、互体、都可以用数来表达。整个卦及卦与卦的关系都可用数表达。但其数字的含意乃是象。《系辞》说：“参伍以变，错综其数。通其变，遂成天地之文，极其数，遂定天下之象，非天下之至变，其孰能与于此?”
    易中太极、两仪、四象、八卦都是以数为象，也就是数中有象。清代陈梦雷(1650—1741年)认为，易理虽广，大体不越理、数、象、占四方面。“有是理乃有是数，有是数即有是理……数不可显，理不可穷，故寄之于象……知象则理数在其中。”
    现代人对易经之数理，则有更多的说法。著名学者冯友兰认为《周易》是一部“比较完整的辨证的宇宙代数学”，其高度抽象的阴阳符号，可以代入任何对立的事物或概念。
    中国数学恰恰源于易经，并与之并行发展，而且还常常受其庇护。唐代最高学府——国子监，经学博士官秩为正五品上，算学博士则是从九品下，这还是历代最好的状态。所以数学家有了成果，要附会在易经上面，才能为时人所重视。好像现代搞易经的人，特别喜谈科学，沾亲带故地称之“科学易”。数学丛书名著《算经十书》即模仿《周易》结构；宋代秦九韶的《数书九章》中，还专门谈“著卦发微”问题，另一数学家刘微也在注解《九章算术》时，将数学与周易联系起来。
    我们来看被西方人称为“中国剩余定理”中的一个问题：
    今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?
    这正是占筮之中的问题，就某一随机的正整数对特定的模式求其余数，余数为偶数取阴爻，为奇数取阳爻。大衍卦即是取一把蓍草，先三三数之，得一余数，奇数取阳爻，偶数取阴爻；再五五数之，又得一爻，七七数之，又得一爻，这就得到一个三爻卦。
    中国古代数学的主干是几何学，这和古希腊相仿，但中国的几何学都与易理有关，大致经历了四个阶段：
    (1)方圆术，以勾股定理及其应用为主；
    (2)方田术，计算圆、方图形的面积、周长、半径等；
    (3)割补术，将圆、方、球形分割拼补，以解各种图形的计算问题；
    (4)其它实际问题。
    西方数学是以逻辑体系为初始状态发展的；中国数学是以易学体系为初始状态发展的。所以直到现在，中国数学仍和易理有不解之缘。下面来分析易卦的代数结构：
    易卦的集合是一个极佳的代数结构。在适当定义了运算后，它就成为一个布尔代数、一个格、一个交换群、一个有限域。它也包含了离散数学概念，这正是今天计算机软件专业的必修课程。64卦集合记作N，用1代表阳爻、O代表阴爻，则是一个内函丰富的代数结构。
    a．布尔向量空间
    布尔向量是描述具有若干因素，每个因素都有两种对立状态的事物的数学模型。如是与否、开与关、上与下、内与外、动与静、亮与暗、涨与跌、买与卖等等，当然最有代表性的就是阴与阳，几乎在所有的事物上都可以分出阴与阳来。在N中，1为阳、O为阴，则每一卦都为6维布尔向量。反之，任何6维布尔向量也都可视为一个卦。因而易卦集N与6维布尔向量空间同构，在引进适当的运算法则之后，可以在N中平行地引进布尔向量空间的全部理论。
    b．格与布尔代数
    在N中定义如下的加法与乘法运算(两卦对应爻位上的爻如此运算)：
    1×1＝1     1×0＝0
    0×1＝0     0×0＝0
    1＋1＝1    1＋0＝1
    0＋1＝1    0＋0＝0
    则易卦N是一格，乾卦是它的单位元，坤卦是它的逆元。
    如果再定义求补运算：
    1＝0，       0’＝1         
    则N是一个布尔代数，因此可以把格与布尔代数的全部理论引进易卦集N中。
    c．群
    有限群，是现代数学中的一个极为重要的概念。十九世纪法国数学家伽罗华(Galois公元1811—1832年)在研究五次方程以上代数方程解法时，于公元1832年引进的。
    在N中引进下面的乘法：
    1·1＝1，1·0＝0
    0·1＝0  0·0＝0
    则易卦N是一个交换群，乾卦是它的单位元。若引进下面的加法：
    1＋1＝0   1＋0＝1
    0＋1＝1   0＋0＝0
    则N也是一个交换群。它的单位元是坤卦。两个群都与模2加群同构。因此，可以在N中引进某些群的理论。
    美国学者焦蔚芳1991年提出“伏羲级数”概念，认为64卦体系按照数学规则是一个几何级序列，称作易数集。用Fs作符号，其公式为：
    Fs＝｛1，2，4，8……｝＝｛20，21，22，23……｝＝｛2n:n＝0，1，2，3……｝
    其数学特征有三：
    (1)它的构成元只是一个自然数，构成元间的数学操作是乘方，乘方的还原或逆向操作是开方。
    (2)2n的序列亦可写成(1＋1)n，由此可推导出二项式定理(x＋y)n。
    (3)2n的数值序列可用作整数域中二进制系统，二者完全吻合。